鲁棒的低秩张量列恢复

张量列(TT)分解通过使用 $O(N)$ 个小维度的矩阵(即因子)及其乘积来表示一个 $N$ 阶张量。由于其紧凑的表示形式，TT 分解已广泛应用于信号处理和量子信息中的各种张量恢复问题。在本文中，我们研究从被任意值异常值污染的测量中重建 TT 格式张量的问题。鉴于平滑公式易受污染，我们使用 $\ell_1$ 损失函数来增强对异常值的鲁棒性。我们首先建立了高斯测量算子的 $\ell_1/\ell_2$-受限等距性质(RIP)，表明 TT 格式张量中的信息可以使用数量随 $N$ 线性增长的测量来保留。我们还证明了在 TT 格式张量上优化的 $\ell_1$ 损失函数的尖锐性。基于 $\ell_1/\ell_2$-RIP 和尖锐性，我们提出了两种互补的方法来从受污染的测量中恢复 TT 格式张量：投影次梯度方法(PSubGM)，它在整个张量上优化；以及分解黎曼次梯度方法(FRSubGM)，它直接在因子上优化。与 PSubGM 相比，分解方法 FRSubGM 以略慢的收敛速度为代价显著降低了内存成本。尽管如此，我们表明，在给定适当初始化(可通过截断谱方法获得)的情况下，这两种方法在步长递减时都能线性收敛到真实张量。