非线性变换下的脊估计

脊估计是一种重要的流形学习技术。本文旨在考察非线性变换对脊集的影响。主要结果证明了脊之间的包含关系：$\cR(f\circ p)\subseteq \cR(p)$，前提是变换 $f$ 在函数 $p$ 的值域上严格递增且凹。此外，给定底层真实流形 $\cM$，我们证明 $\cR(f\circ p)$ 与其到 $\cM$ 上投影的 Hausdorff 距离小于 $\cR(p)$ 与相应投影之间的 Hausdorff 距离。这促使我们在脊估计之前施加一个递增且凹的变换。具体而言，我们证明幂变换 $f^{q}(y)=y^q/q,-\infty<q\leq 1$ 在 $\RR_+$ 上递增且凹，因此当 $p$ 严格为正时可使用此类幂变换。数值实验展示了所提方法的优势。