Rho 估计量 revisited：一般理论及其应用

遵循 Baraud、Birgé 和 Sart（2017）的工作，我们继续尝试为 $n$ 个独立（但不一定独立同分布）观测的联合分布设计一种针对 Hellinger 型损失的鲁棒通用估计量。给定具有未知联合分布 $\mathbf{P}$ 的此类观测以及 $\mathbf{P}$ 的受控模型 $\mathscr{Q}$，我们基于 $\mathscr{Q}$ 构建估计量 $\widehat{\mathbf{P}}$，并用 Hellinger 型距离衡量其风险。当 $\mathbf{P}$ 确实属于该模型时，该风险由某个依赖于模型在 $\mathbf{P}$ 邻域内局部复杂度的量所界定。在大多数情况下，该界对应于模型上的极小极大风险（可能相差一个对数因子）。当 $\mathbf{P}$ 不属于该模型时，其风险涉及一个与 $\mathbf{P}$ 和 $\mathscr{Q}$ 之间距离成正比的额外偏差项，无论真实分布 $\mathbf{P}$ 为何。从这个角度看，这种新版本的 $\rho$-估计量改进了 Baraud、Birgé 和 Sart（2017）中所描述的先前版本，后者要求 $\mathbf{P}$ 相对于某个已知参考测度绝对连续。与之前的构造相比，还带来了进一步的改进。特别是，它对具有随机设计的回归框架提供了非常一般的处理，并为聚合估计量提供了一个可计算的程序。我们还给出了最大似然估计量为 $\rho$-估计量的条件。最后，我们考虑统计学家可利用许多不同模型的情况，并构建了用于模型选择与适应的 $\rho$-估计量的惩罚版本。在回归设定中，该惩罚估计量不仅允许估计回归函数，还可以估计误差分布。