自动机与简单k路径问题之间的关系

设 $G$ 为一个具有 $n$ 个顶点的有向图。给定整数 $k<=n$，SIMPLE $k$-PATH 问题询问 $G$ 中是否存在一条简单 $k$-路径。若 $G$ 是带权图，则 MIN-WT SIMPLE $k$-PATH 问题要求找出 $G$ 中权重最小的简单 $k$-路径。目前已知最快的 MIN-WT SIMPLE $k$-PATH 确定性算法由 Fomin、Lokshtanov 和 Saurabh 提出，对于整数权重在 $[-W,W]$ 范围内的图，其运行时间为 $O(2.851^k\cdot n^{O(1)}\cdot \log W)$。这也是目前已知最好的 SIMPLE k-PATH 确定性算法，其运行时间相同但不含 $\log W$ 因子。我们定义 $L_k(n)\subseteq [n]^k$ 为长度为 $k$ 且所有符号互不相同的单词集合。我们证明，若能为 $L_k(n)$ 显式构造一个大小为 $f(k)\cdot n^{O(1)}$ 的非确定性自动机(NFA)，则当权重非负或所构造的 NFA 作为有向图是无环时，可得到 MIN-WT SIMPLE $k$-PATH 的一个运行时间为 $O(f(k)\cdot n^{O(1)}\cdot \log W)$ 的算法。我们证明，Kneis 等人的算法及其由 Chen 等人完成的去随机化版本可用于为 $L_k(n)$ 构造一个大小为 $O^*(4^{k+o(k)})$ 的无环 NFA。另一方面，我们证明任何识别 $L_k(n)$ 的 NFA 的大小至少为 $2^k$。因此，我们提出缩小这一差距并确定 $L_k(n)$ 的最小 NFA 作为一个有趣的开放问题，这可能导向更快的 MIN-WT SIMPLE $k$-PATH 算法。我们利用 SIMPLE $k$-PATH 与非确定性异或自动机(NXA)之间的关系，为 SIMPLE $k$-PATH 给出另一个运行时间为 $O^*(2^k)$ 的确定性算法方向。