随机双层变分不等式问题的正则化算子外推方法

双层变分不等式（BVI）问题是一个通用模型，涵盖了多种优化问题，包括 VI 约束优化和带均衡约束的均衡问题（EPECs）。本文提出了一种针对内层和外层均为随机单调算子的光滑或非光滑 BVI 的一阶方法。我们提出的新方法称为正则化算子外推（R-OpEx），是一种将 Tikhonov 正则化与算子外推相结合的单循环算法。该方法每次迭代仅需对每个算子进行一次算子求值，并追踪一个迭代序列。我们证明了 R-OpEx 在非光滑随机单调 BVI 中具有 $\mathcal{O}(\epsilon^{-4})$ 复杂度，其中 $\epsilon$ 为内层和外层的误差。采用小批量方案，我们将外层复杂度改进为 $\mathcal{O}(\epsilon^{-2})$，同时在内层光滑随机时保持内层 $\mathcal{O}(\epsilon^{-4})$ 复杂度。此外，若内层光滑且确定性，我们证明复杂度为 $\mathcal{O}(\epsilon^{-2})$。最后，若外层强单调，我们对一般 BVI 改进至 $\mathcal{O}(\epsilon^{-4/5})$，当内层光滑且确定性时改进至 $\mathcal{O}(\epsilon^{-2/3})$。据我们所知，这是首次研究具有最佳已知收敛保证的非光滑随机 BVI 的工作。我们通过数值实验验证了理论结果。