基于Kronecker积分解的矩阵值数据回归

我们研究高维情形下的矩阵变量回归问题 $Y_i = \sum_{k} \beta_{1k} X_i \beta_{2k}^{\top} + E_i$，其中 $i=1,2\dots,n$，响应变量 $Y_i$ 是 $p_{1}\times p_{2}$ 矩阵，其维度超过样本量 $n$ 和预测变量 $X_i$ 的维度 $q_{1}\times q_{2}$，即 $q_{1},q_{2} \ll n \ll p_{1},p_{2}$。我们提出一种名为KRO-PRO-FAC的估计算法，用于估计参数 $\{\beta_{1k}\} \subset \Re^{p_1 \times q_1}$ 和 $\{\beta_{2k}\} \subset \Re^{p_2 \times q_2}$，该算法利用Van Loan和Pitsianis (1993)的Kronecker积分解和重排操作。KRO-PRO-FAC算法计算高效，因为它不需要估计 $\{Y_i\}$ 元素之间的协方差。我们建立了 $\hat{\beta}_{1k} -\beta_{1k}$ 和 $\hat{\beta}_{2k} - \beta_{2k}$ 在谱范数下的扰动界，适用于 $E_i$ 的行或列为独立次高斯随机向量的情形。在模拟和真实数据上的数值研究表明，与现有其他方法相比，我们的方法在估计误差和预测精度方面均具有竞争力。