学习几何非平凡算子的速率与架构

深度学习方法已证明能够从极少的训练样本中恢复高维空间之间的算子，例如偏微分方程的解映射及数学物理中类似对象。这种数据高效性现象已被证明适用于某些具有简单几何结构的椭圆算子，即不改变函数定义域或不传播奇点的算子。然而，科学机器学习常用于涉及以先验未知方式传播奇点的问题，如波传播、对流和流体动力学。基于此，我们将学习理论扩展至包含双纤维化变换——一类包含广义拉东变换和测地线射线变换的几何积分算子。我们证明该类算子不受维数灾难的影响：误差以超代数速率衰减，即快于训练样本数倒数的任意固定幂次。此外，我们研究了显式编码这些变换几何结构的架构，结果表明一种类似于基于水平集方法的交叉注意力架构，能够给出通用、稳定且可从极少训练样本中学习双纤维化变换的参数化。我们的结果有助于快速增长的科学机器学习算子学习理论研究方向。