径向 M"untz-Sz\'asz 网络：用于多维奇异性的可学习幂基神经网络架构

径向奇异场（如 $1/r$, $\log r$, 裂缝尖端轮廓）难以由当前坐标可分神经网络建模。我们形式化证明：任何既径向又加法可分的 $C^2$ 函数必为二次函数，确立了坐标逐元素幂律模型的根本性障碍。致力于此目的，我们引入径向 M"untz-Sz\'asz 网络（RMN），其代表场作为可学习径向幂 $r^\mu$ 的线性组合，其中包括负指数，以及用于精确 $\log r$ 行为的极限稳定 log-原始项。RMN 具有闭式空间梯度和拉普拉斯算子，支持在带洞域上的物理感知学习。在十个二维和三维基准测试中，RMN 的均方根误差（RMSE）比 MLP 低 1.5 至 51 倍，比 SIREN 低 10 至 100 倍，仅需 27 个参数，远少于 MLP 的 33,537 个参数和 SIREN 的 8,577 个参数。我们扩展 RMN 以包含角向依赖（RMN-Angular）和处理多个源点（RMN-MC），其源点恢复误差低于 $10^{-4}$。我们也报告在光滑强非径向目标上的受控失效，以界定 RMN 的适用范围。