Simplicial Complex 上的量子漫步与调和同调：应用于超多项式速度优势的拓扑数据分析

将更高阶的相互作用纳入信息处理，使我们能够构建更精确的模型，深入洞察复杂系统，并更有效地应对现实挑战。然而，现有方法如面向 simplices 的随机漫步和同调，这些方法捕捉这些相互作用，尚不为人知是否高效。本工作调查量子漫步在 simplicial complex 上的量子优势。我们引入一种新型量子漫步，对编码组合 Laplacian 的方法，这是一种关键数学对象，其谱特性反映底层 simplicial complex 的拓扑结构。此外，我们构建一种投影 onto Laplacian 核的单位编码，代表 simplicial complex 同调中调和循环的空间。结合我们所提出的 clique complex 高效构建量子漫步单位方法，这为利用量子漫步探索拓扑结构中更高阶相互作用铺平了道路。我们的结果以无需依赖大数据集的量子或acles的方式，实现了超多项式量子速度优势。关键的是，漫步作用于包含正负定向 simplices 的状态空间，其规模相当于无定向方法的两倍。通过这些配对 simplices 的相干干涉，我们成功地编码了组合 Laplacian，这在没有这种做法的话则不可能实现。这一观察构成了我们主要的技术贡献。我们还通过构建变体量子漫步来扩展该框架。这些变体使我们能够：(1) 估计标准化的持久 Betti 数，捕捉变形过程中的拓扑信息；(2) 验证一个特定的 QMA$_1$-hard 问题，展示其在计算复杂性理论中的潜在应用。