量子变分求解非线性与多维偏微分方程

Lubasch 等人提出了一种在量子计算机上数值求解偏微分方程（PDEs）的变分量子算法。在本文中，我们将 Lubasch 等人引入的方法推广到更广泛的一类非线性偏微分方程以及多维偏微分方程，并研究了该变分量子算法在若干示例方程上的性能。具体而言，我们通过数值模拟表明，该算法可以求解具有非平凡非线性波动率模型的单资产 Black-Scholes 方程、双资产 Black-Scholes 方程、Buckmaster 方程以及确定性 Kardar-Parisi-Zhang 方程的实例。我们的模拟使用了多达 $n=12$ 个 ansatz 量子比特，计算具有 $2^n$ 个网格点的偏微分方程解。我们还使用 IonQ 的俘获离子量子处理器进行了概念验证实验，展示了精确计算非线性 Black--Scholes 方程单时间步计算所需的两个代表性期望值。通过我们的经典模拟和量子硬件实验，我们识别并讨论了在使用量子变分方法求解具有大量（$\gg 2^{20}$）网格点、但每个线路门数和线路采样数均实际的偏微分方程时所面临的若干开放挑战。