优化近似凸函数的量子加速及其在对数后悔随机凸_bandits中的应用

我们开启了量子算法优化近似凸函数的研究。给定凸集 ${\cal K}\subseteq\mathbb{R}^{n}$ 与函数 $F\colon\mathbb{R}^{n}\to\mathbb{R}$，使得存在凸函数 $f\colon\mathcal{K}\to\mathbb{R}$ 满足 $\sup_{x\in{\cal K}}|F(x)-f(x)|\leq \epsilon/n$，我们的量子算法找到 $x^{*}\in{\cal K}$ 使得 $F(x^{*})-\min_{x\in{\cal K}} F(x)\leq\epsilon$，使用了 $\tilde{O}(n^{3})$ 次对 $F$ 的量子求值查询。这与已知最优经典算法相比实现了多项式量子加速。作为一个应用，我们给出了一个零阶随机凸bandits的量子算法，其后悔为 $\tilde{O}(n^{5}\log^{2} T)$，相比经典 $\Omega(\sqrt{T})$ 下界在 $T$ 上实现了指数加速。从技术上讲，我们通过利用模拟退火的量子框架并采用hit-and-run游走的量子版本，实现了在 $n$ 上的量子加速。我们在零阶随机凸bandits上于 $T$ 的加速源于均值估计乘法误差的二次量子加速。