基于谱网络与带框 BPS 态的量子完整变换

我们提出一种确定 4d $\mathcal{N}=2$ class S 理论中支撑在线缺陷上的 BPS 态自旋的方法。通过 2d-4d 对应，这转化为在带穿孔黎曼曲面 $\mathcal{C}$ 上构造量子完整变换（quantum holonomies）。我们的方法结合了谱网络技术（将 $\mathcal{C}$ 上的平坦 $GL(K,\mathbb{C})$-联络用 $\mathcal{C}$ 的 $K$ 重覆盖上的平坦阿贝尔联络表示）与 3-流形 $\mathcal{C}\times [0,1]$ 中的 skein 代数（表达了量子群 $U_q(gl_K)$ 的表示论）。对于 $\mathcal{C}$ 上的任意路径，量子完整变换关联到高阶 Teichm\"uller 空间量子化 Fock-Goncharov 坐标中的一个正 Laurent 多项式。这证实了物理和数学中各种正性猜想。