针对任意矩阵的量子本征值变换

量子信号处理（QSP）和量子奇异值变换（QSVT）为实现分块编码矩阵的多项式提供了一个高效的框架，从而为量子算法设计提供了一种系统化的方法。然而，尽管近期取得了许多进展，但仍存在重要的局限性。具体而言，QSP只能通过对其本征值应用多项式来变换酉矩阵，而QSVT是一种奇异值变换，因此只能得到厄米矩阵的多项式。因此，这些技术不能直接应用于不可对角化的任意非厄米矩阵。在本工作中，我们提出了一种简单而强大的方法，通过作用于任意方阵的本征值将这些思想扩展到任意方阵。为此，我们引入了 $n$-正则分块编码的概念，即一种对于每个 $0 < k < n$，其 $k$ 次幂都能重现被编码矩阵 $k$ 次幂的分块编码。我们证明，将QSP应用于具有此性质的任意酉矩阵，等价于对分块编码矩阵应用一个次数最多为 $n$ 的多项式，且与其内部结构无关。此外，我们提供了一种简单的构造，仅使用 $O(\log n)$ 个辅助量子比特和操作即可将任意分块编码转换为 $n$-正则分块编码。最后，我们证明了该构造对与矩阵的若尔当标准型相关联的本征值诱导出了所需的变换。