多项式混沌展开的量子电路编码

本研究探讨了量子电路在逼近高维实值函数方面的表达能力。我们关注可数参数全纯映射 $u:U\to \mathbb{R}$，其中参数域为 $U=[-1,1]^{\mathbb{N}}$。我们通过这些参数映射的广义多项式混沌展开的最佳 $n$-项截断，建立了与维度无关的量子电路逼近速率，并证明这些速率仅取决于 gPC 展开系数的可和性指数。我们发现的关键基于这样一个事实：所谓的“$(\boldsymbol{b},\epsilon)$-全纯”函数（其中对于某个 $p\in(0,1)$，$\boldsymbol{b}\in (0,1]^\mathbb N \cap \ell^p(\mathbb N)$）允许结构化且稀疏的 gPC 展开。已知 $n$-项截断的 gPC 展开在 $L^2$ 范数下具有 $n^{-1/p + 1/2}$ 阶的逼近速率，在 $L^\infty$ 范数下具有 $n^{-1/p + 1}$ 阶的逼近速率。我们证明了这些 $n$-项截断 gPC 展开存在参数化量子电路 编码，并通过 以下方式界定了 PQC 的深度和宽度： 编码 $[-1,1]$ 中 Cheby\v{s}ev 多项式的单变量 PQC 的张量化； 线性组合酉算子 以构建 $n$-项截断 gPC 展开的 PQC 仿真。研究结果为在高维函数逼近中使用量子算法提供了严格的数学基础。由于可数参数全纯映射自然出现在参数 PDE 模型和不确定性量化 中，我们的结果对应用中广泛映射的量子增强算法具有启示意义。