基于二进分类与回归树的分位数回归

在本文中，我们提出并研究了 Donoho (1997) 中二进分类与回归树（DCART）估计器的一个版本，用于一般维度下的（固定设计）分位数回归。我们将该提出的估计器称为 QDCART 估计器。正如均值回归版本一样，我们证明：a) 存在计算复杂度为 $O(N \log N)$ 的基于快速动态规划的算法来计算 QDCART 估计器；b) QDCART 估计器满足一个预言风险界（权衡平方误差与真实信号的复杂度参数）。该预言风险界使我们能够证明 QDCART 估计器对分段常数和有界变差函数类享有自适应速率最优估计保证。与现有 DCART 估计器结果要求误差分布为次高斯分布不同，我们的估计保证成立无需对误差分布作任何限制性尾部衰减假设。例如，即使误差分布无一阶矩（如柯西分布），我们的结果仍成立。除二进 CART 方法外，我们还考虑其他变体方法，如 Chatterjee 和 Goswami (2019) 引入的最优回归树（ORT）估计器。特别地，我们也将 ORT 估计器推广至分位数设定，并确立其享有类似保证。因此，本文将这些全局最优回归树方法的范围扩展至可应用于重尾数据。我们随后在模拟与真实数据上进行了大量数值实验，说明了所提方法的实用性。