具有有限树宽包的 optimal 树分解

我们证明了若干自然图类具有最小宽度的树分解，使得每个包的树宽受限。例如，每个平面图都有一个最小宽度的树分解，使得每个包的树宽最多为3。这种树宽界限是最佳的。更一般地，每个欧拉面积为 $g$ 的图都有一个最小宽度的树分解，使得每个包的树宽为 $O(g)$。这种树宽界限也是最佳的。最一般地，每个 $K_p$ 免稀图都有一个最小宽度的树分解，使得每个包的树宽最多为某个关于 $p$ 的多项式函数 $f(p)$。在此类结果中，排除小数的假设是合理的，因为我们展示了类似的结果对 1-planar 图不成立，而 1-planar 图是最简单的非免稀单调类之一。事实上，我们证明了 1-planar 图不存在宽度在常数范围内逼近 optimal 的树分解，且每个包的树宽受限。另一方面，我们证明了 1-planar $n$ 顶点图具有宽度 $O(\sqrt{n})$（这是渐近紧密界限）且每个包的树宽受限的树分解。此外，这一结果在更一般的有限层次树宽设置下也成立，即多个包的联合具有有限树宽。