Pólya 猜想的证明

在本文中，我们研究了 $\mathbb{R}^n$ 中有界域 $\Omega$ 上 Laplace 算子 Dirichlet 特征值问题的高阶特征值的下界。众所周知，第 $k$ 个 Dirichlet 特征值 $\lambda_k$ 遵循 Weyl 渐近公式，即 $$\lambda_k\sim\frac{4\pi^2}{(\omega_n\mathrm{vol}\Omega)^\frac{2}{n}}k^\frac{2}{n}\qquad\hbox{as}\quad k\rightarrow\infty,$$ 其中 $\mathrm{vol}\Omega$ 是 $\Omega$ 的体积。鉴于上述公式，Pólya 猜想 $$\lambda_k\gs\frac{4\pi^2}{(\omega_n\mathrm{vol}\Omega)^\frac{2}{n}}k^\frac{2}{n}\qquad\hbox{for}\quad k\in\mathbb{N}.$$ 这就是著名的 Pólya 猜想。关于这一主题的研究历史悠久且成果丰富。特别是，近几十年来较显著的成就之一由 Li 和 Yau [Comm. Math. Phys. 88 (1983), 309--318] 取得。他们通过一个 $n/(n+2)$ 的微小差异因子部分解决了 Pólya 猜想。在此，整体上遵循 Li 和 Yau 的论证，我们将彻底解决上述猜想。