私有中心点与半空间的学习

我们提出了一种针对任意有限域 $X\subset \mathbb{R}^d$ 上半空间的私有学习器，其样本复杂度为 $mathrm{poly}(d,2^{\log^*|X|})$。该学习器的构建模块是一个用于定位 $m>\mathrm{poly}(d,2^{\log^*|X|})$ 个点的近似中心点的差分私有算法——即中位数函数的高维推广。我们的构造建立了这两个问题之间的关系，令人联想到中位数与一维阈值学习之间的关系 [Bun et al. FOCS '15]。这一关系表明，私有定位中心点的问题可能在差分私有算法设计中具有进一步应用。我们还给出了私有寻找凸包中一点的样本复杂度下界。对于近似差分隐私，我们给出下界 $m=\Omega(d+\log^*|X|)$，而对于纯差分隐私则为 $m=\Omega(d\log|X|)$。