$k$-暴胀中的原初黑洞与诱导引力波

最近的观测约束表明，质量标度 $\sim 10^{-12}M_{\odot}$ 的原初黑洞（PBHs）可以解释宇宙中大部分暗物质。为产生此类 PBHs，我们需要在标度 $k \sim 10^{12}~\rm Mpc^{-1}$ 处将原初标量曲率扰动增强到 ${\mathcal{O}(10^{-2})}$ 量级。此处，我们在 \textbf{$k$-暴胀} 框架内研究 PBHs 与诱导引力波（GWs）的产生。我们数值求解 Mukhanov-Sasaki 方程以获得原初标量功率谱。此外，我们估计了 PBHs 丰度 $f_{\text{PBH}}^{\text{peak}}$ 以及诱导 GWs 的能量密度参数 $\Omega_{\rm GW,0}$。有趣的是，对于一组特殊模型参数，我们估计 PBHs 的质量标度与丰度分别为 $\sim{\cal O}(10^{-13})M_{\odot}$ 与 $f_{\text{PBH}}^{\text{peak}}=0.96$。这证实了我们的暴胀模型中 PBHs 产生机制可解释大部分暗物质。进而，我们评估了 GWs 能量密度参数，并得出结论：它表现为幂律函数 $\Omega_{\rm GW}\sim (f/f_c)^n$，其中在红外极限 $f\ll f_{c}$ 下，幂指数 $n=3-2/\ln(f_c/f)$。