从随机到显式：通过子空间设计及其在局部属性和 matroid 中的应用

在编码理论中，一个常见问题是理解各种局部属性（如列表解和列表恢复）的阈值速率。最近的工作 Levi、Mosheiff 和 Shagrithaya（FOCS 2025）给出了一种新型统一框架，用于计算随机线性码和随机 Reed-Solomon 码的局部属性阈值速率。在本文中，我们将他们的框架扩展到研究可子空间设计的编码的局部属性，包括显式折叠 Reed-Solomon 码和单变量重数码。我们的第一个主要结果是：在可接受的速率下降范围内，随机线性码与（近似）最优子空间设计码在局部上等价。我们证明，编码的任何局部属性适用于所有子空间设计码。因此，我们给出了第一个同时实现随机线性码所有局部属性的显式折叠线性码构造。相反，我们证明，任何适用于所有子空间设计码的局部属性也适用于随机线性码。我们的第二个主要结果是对 matroid 理论的应用。我们表明，最大可恢复张量码的正确擦除模式可以在确定性多项式时间内识别，前提是满足 Mason（1981）提出的某个 matroid 问题的正答案。这改进了 Jackson 和 Tanigawa（JCTB 2024）的结果，后者在假设更强的猜想下给出了 RP ∩ coNP 的复杂性特征。我们的结果也适用于一般化的二分偶尔刚性和矩阵完成 matroid。此外，由于我们感兴趣的附加结果，我们研究了子空间设计的存在性与局限性。特别是，我们紧密分析了由 Guruswami 和 Kopparty（Combinatorica 2016）构造的子空间设计族，并指出在代数闭域上不存在更好的子空间设计。