具有类 Monge 代价数组的平面三维分配问题

给定一个 $n\times n\times p$ 代价数组 $C$，我们考虑问题 $p$-P3AP，该问题在于寻找 $\{1,\ldots,n\}$ 的 $p$ 个两两不相交的排列 $\varphi_1,\varphi_2,\ldots,\varphi_p$，使得 $\sum_{k=1}^{p}\sum_{i=1}^nc_{i\varphi_k(i)k}$ 最小化。对于 $p=n$ 的情形，便得到平面三维分配问题 P3AP。我们的主要结果涉及在代价数组 $C$ 为分层 Monge 数组上的 $p$-P3AP。在分层 Monge 数组中，固定第三索引 $k$ 所得的所有 $n\times n$ 矩阵均为 Monge 矩阵。我们证明了 $p$-P3AP 和 P3AP 在分层 Monge 数组上仍然是 NP 困难的。此外，我们证明了在分层 Monge 情形下，$p$-3PAP 始终存在一个可表示为带宽 $\le 4p-3$ 的矩阵的最优解。这一结构性结果使我们能够提供一种动态规划算法，当 $p$ 固定时，该算法可在分层 Monge 数组上于多项式时间内求解 $p$-P3AP。