复合格式的相变：Mittag-Leffler 与混合 Poisson 分布

大量概率与组合对象与满足复合格式 $F(z)=G(H(z))$ 的生成函数相关联。当该格式为临界（即 $G$ 与 $H$ 同时奇异）时，分析变得具有挑战性。受诸多例子（随机映射、平面地图、有向格路径）的启发，我们考虑该格式的一个自然推广，即 $F(z,u)=G(u H(z))M(z)$。我们还考虑该格式的一个变体，它使我们能够分析 $F$ 中给定大小的 $H$-分量数目。我们证明这两个模型导向一个丰富的极限律世界，其中我们辨识出本文引入的一个新普适律所起的关键作用：三参数 Mittag-Leffler 分布，它本质上是 beta 分布与 Mittag-Leffler 分布的乘积。我们还证明了（双重）相变，另外涉及 Boltzmann 与混合 Poisson 分布，从而对相关阈值给出了统一解释。在所有情形下，我们都获得了矩收敛与局部极限定理。最后我们将临界复合格式推广到圈格式与多元情形，得到乘积分布。应用展示于随机游走、树（树的超树、递增标号树、优先连接树）、三角 Pólya urn 以及中国餐馆过程。