随机团簇模型中的相分离 II：平衡态液滴与局部偏差下界

我们研究对亚临界Fortuin-Kasteleyn平面随机团簇模型施加条件，要求存在一个环绕原点且包围面积至少（或恰好）为$n^2$的开回路$\Gamma_0$时，所产生的液滴。我们考虑液滴边界的局部偏差，分别从径向和纵向两个角度进行度量：径向偏差由最大局部粗糙度$MLR(\Gamma_0)$衡量，即回路$\Gamma_0$上一点到该回路凸包边界的最大距离；纵向偏差由我们称之为最大面长度$MFL(\Gamma_0)$的量衡量，即构成凸包边界的最长线段的长度。我们证明存在常数$c > 0$，使得在$n$趋于无穷大时，归一化量$n^{-1/3}(\log n)^{-2/3} MLR(\Gamma_0)$超过$c$的条件概率趋于1；并且对于$n^{-2/3}(\log n)^{-1/3} MFL(\Gamma_0)$，同样的结论也成立。为获得这些界，我们将存在捕获大面积的开放回路条件下的随机团簇测度，展示为对回路边界部分进行重采样的马尔可夫链的不变测度。我们分析平衡态下的链以证明局部粗糙度下界。结合arXiv:1001.1527中提供的互补上界，$MLR(\Gamma_0)$和$MFL(\Gamma_0)$的波动被确定到常数因子。