$\mathbb{R}^d$ 中的置换与无关联单调回归：基于混合建模与最优传输的方法

假设我们有一个回归问题，响应变量 $Y\in\mathbb{R}^d$，预测变量 $X\in\mathbb{R}^d$，其中 $d\geq 1$。在置换或无关联回归中，我们可分别获得关于 $X$ 和 $Y$ 的无序数据，而非通常回归中 $(X,Y)$ 配对的数据。迄今为止文献中仅关注 $d=1$ 的情形，参见例如 Rigollet 与 Weed [Information & Inference, 8, 619--717] 以及 Balabdaoui 等人 [J. Mach. Learn. Res., 22(172), 1--60] 的近期论文。本文我们考虑 $d\geq 1$ 的一般多元设定。我们表明回归函数的循环单调性概念足以用于置换/无关联回归模型的识别与估计。我们研究置换回归设定中的置换恢复，并基于 Kiefer-Wolfowitz [Ann. Math. Statist., 27, 887--906] 非参数极大似然估计量与最优传输理论的技术，开发了一种计算高效且易用的去噪算法。我们对高斯噪声下相关的均方去噪误差给出了显式上界。如同先前 $d=1$ 情形的工作，置换/无关联设定涉及缓慢的（对数）收敛速率，其根源在于底层的反卷积问题。数值研究证实了我们的理论分析，并表明所提方法在 $d=1$ 情形下至少与前述已有工作的方法表现相当，同时在计算复杂度上实现了显著降低。