Pareto 集的 Pareto 和：下界与算法

在双准则优化问题中，目标通常是计算 Pareto 最优解集。许多针对此类问题的算法依赖于有效地合并或组合部分解，并过滤结果集中的支配解。在本文中，我们考虑计算两个给定大小为 $n$ 的 Pareto 集 $A, B$ 的 Pareto 和的任务。Pareto 和 $C$ 包含 Minkowski 和 $M = \{a+b|a \in A, b\in B\}$ 的所有非支配点。由于 Minkowski 和的大小为 $n^2$，但 Pareto 和 $C$ 可能小得多，目标是在无需计算和存储所有 $M$ 的情况下计算出 $C$。我们提出了几种用于高效计算 Pareto 和的新算法，包括一种输出敏感的逐次算法，其运行时间为 $O(n \log n + nk)$，空间消耗为 $O(n+k)$，其中 $k=|C|$。如果 $C$ 的元素以流式传输，空间消耗可降至 $O(n)$。对于输出大小 $k \geq 2n$，我们证明了 Pareto 和计算的条件下界，除非 (min,+)-卷积困难猜想不成立，否则排除了 $O(n^{2-\delta})$（其中 $\delta > 0$）的运行时间。当 $k \in \Theta(n)$ 时，逐次算法匹配了该下界。然而，对于 $k \in \Theta(n^2)$，逐次算法表现出三次运行时间。但我们还提出了一种具有输出敏感空间消耗和 $O(n^2 \log n)$ 运行时间的算法，即使在 $k$ 较大时也匹配下界至多一个对数因子。此外，我们描述了合适的工程化技术以改善算法的实际运行时间。最后，我们在生成数据和真实世界数据上提供了广泛的比较实验研究。作为展示性应用，我们考虑了道路网络中基于预处理的双准则路径规划。