$\mathbb{F}_2$ 上满足几乎所有线性方程的参数化复杂性

MaxLin2 问题可表述如下。给定一个由 $m$ 个方程组成的系统 $S$，变量为 $x_1,...,x_n$，其中每个方程为 $\sum_{i \in I_j}x_i = b_j$，赋予正整数权重 $w_j$，且 $x_i,b_j \in \mathbb{F}_2$，$I_j \subseteq \{1,2,...,n\}$（$j=1,...,m$）。要求找到变量的赋值，使得满足方程的总权重最大化。设 $W$ 为 $S$ 中所有方程的总权重。我们考虑 MaxLin2 的如下参数化版本：判定是否存在一个赋值，使得满足方程的总权重至少为 $W-k$，其中 $k$ 为非负参数。我们证明，即使 $S$ 中每个方程恰有三个变量、每个变量恰出现在三个方程中，且每个权重 $w_j$ 等于 1、任意两个方程没有相同的左端，该参数化问题仍是 W[1]-难的。我们通过证明若每个方程至多有两个变量则该参数化问题是固定参数可 tractable 的，来展示这一结果的紧性。我们还证明，若每个变量至多出现在两个方程中，则我们可以在多项式时间内最大化满足方程的总权重。