并行子模函数最小化

我们考虑子模函数最小化（SFM）的并行复杂性。我们提供了一对方法，获得了定义在 $n$ 个元素子集上、整数值介于 $-M$ 和 $M$ 之间的子模函数的两种新的查询与深度权衡。第一种方法深度为 $2$，查询复杂度为 $n^{O(M)}$；第二种方法深度为 $\widetilde{O}(n^{1/3} M^{2/3})$，查询复杂度为 $O(\mathrm{poly}(n, M))$。尽管已有关于 SFM 并行下界改进的一系列工作，但在我们的工作之前，已知的并行 SFM 算法要么源自更通用的顺序 SFM 方法，要么源自高度并行的凸 $\ell_2$-Lipschitz 函数最小化。有趣的是，为获得第二个结果，我们提供了首个在超立方体上最小化 $\ell_\infty$-Lipschitz 函数的高并行算法，其在获得常数精度方面实现了近最优深度。