低曲率几何区域下VQE的PAC全局优化

我们为变分量子本征求解器（VQE）在显式几何条件下的全局$\varepsilon$最优性提供噪声鲁棒的、Probably Approximately Correct（PAC）保证。对于具有有界生成器的周期性 ansatz——其在 torus 参数空间上形成全局 Lipschitz 成本景观——我们假设低能区（包含全局最小值）是一个正则 Hessian 秩为 $r = O(\log p)$ 的 Morse--Bott 子流形，其对坐标对齐、嵌入平坦满足多项式纤维正则性。这一低曲率维结构可建模为仅少数方向控制能量变化的 regime，符合强参数绑定结合特定多尺度和绑定浅层架构中的局域性机制。基于此假设，在置信度 $1-\delta$ 下找到 $\varepsilon$ 最优区域所需的样本复杂度随曲率维数 $r$ 而非环境维数 $p$ 而增长。以至少 $1-\delta$ 的概率，算法输出一个区域，其中所有点都是$\varepsilon$ 最优，且至少有一个点位于全局最小值附近的有界邻域内。其结果复杂度为 $p$ 和 $\varepsilon^{-1}$ 的准多项式阶，$\delta^{-1}$ 的对数阶。这一工作识别了在shot noise存在的情况下，仍可实现高概率全局优化的几何 regime。