覆盖多点问题的输出敏感算法

给定一个点集和一个正整数 $m$，我们的目标是用 $m$ 个圆盘覆盖尽可能多的点。我们设计了该问题的首个输出敏感算法。我们引入参数 $\rho$ 作为单个圆盘能覆盖的最大点数。在本文中，我们首先解决了 $m=2$ 的情况，时间复杂度为 $O({n\rho} + {\rho ^3}\log \rho )$。此前该问题的算法运行时间为 $O({n^3}\log n)$。由于在许多情况下 $\rho$ 远小于 $n$，我们的算法优于先前的算法。随后我们将算法扩展至任意 $m$ 值，以 $O(m{n\rho} + {(m\rho )^{2m - 1}}\log m\rho )$ 的时间复杂度解决了该问题。此前该问题的算法运行时间为 $O({n^{2m - 1}}\log n)$。由于在许多情况下 $m\rho$ 小于 $n$，我们的算法运行速度更快。我们获得输出敏感算法的技术是利用贪心算法 (greedy algorithm) 来限定搜索区域以获取结果。本文中的技术可能适用于其他部署贪心算法的集合覆盖问题，以获得更快的解决方案。