带锥证书的混合整数凸问题外近似方法

混合整数凸（MI-convex）优化问题是指当所有整数约束被松弛后变为凸的问题。我们针对转化为MI-锥形式的MI-凸问题，提出了一种分支定界LP外近似算法。多面体松弛通过从连续原始-对偶锥子问题的锥证书导出的$\mathcal{K}^*$割来细化。在所有子问题均适定的假设下，该算法能在有限时间内检测不可行性或无界性，或返回最优解。利用锥证书的性质，我们证明了$\mathcal{K}^*$割意味着关于多面体松弛质量的某些实际相关保证，并展示了在LP求解器使用正可行性容差时如何保持有用的保证。我们讨论了如何对$\mathcal{K}^*$割进行分解以收紧多面体松弛从而加快收敛速度，并提出了获取有用$\mathcal{K}^*$割的快速启发式方法。我们新的开源MI-锥求解器Pajarito（http://github.com/JuliaOpt/Pajarito.jl）使用外部混合整数线性（MILP）求解器管理搜索树，并使用外部连续锥求解器处理子问题。在混合整数二阶锥（MISOCP）问题库上的基准测试表明，Pajarito大幅优于Bonmin（领先的开源替代方案），并与CPLEX专用的MISOCP算法具有竞争力。我们通过求解涉及半正定锥、二阶锥和指数锥混合的多样化MI-锥问题展示了Pajarito的鲁棒性，并为我们对$\mathcal{K}^*$割的分析与增强的实际价值提供了证据。