OptiRefine：具有 $k$ 次 refinements 的稠密子图与最大割

数据分析任务通常涉及迭代过程，需要细化之前的解决方案。例如，在分析动态社交网络时，我们可能对在早期快照中识别出的社区感兴趣。这一任务需要在当前数据快照中找到与早前发现的感兴趣社区“接近”的社区。然而，经典优化算法通常是从头开始寻找解决方案，可能返回与初始方案差异很大的社区。为缓解此问题，我们引入\emph{OptiRefine 框架}。该框架通过进行少量\emph{refinements} 来优化初始解决方案，从而确保新解决方案保持接近初始解决方案，同时为优化问题获得近最优解。我们将 OptiRefine 框架应用于两个经典图优化问题：\emph{稠密子图}和\emph{最大割}。对于\emph{稠密子图问题}，我们通过增减 $k$~个节点来优化给定子图的密度。我们证明该新问题是 $k$-稠密子图问题的推广，并为 $k=\Omega(n)$~refinements 提供常数因子近似算法。我们也研究\emph{最大割}的一个版本，其中目标是改进给定的割。我们提供与带基数约束的最大割的联系，并在 Unique Games 假设下针对 $k=\Omega(n)$~refinements 提供最优近似算法。我们在合成数据和真实数据上评估了理论方法和可扩展启发式方法，证明其在实际应用中效果显著。