通过解耦求解具有规模不经济的优化问题

我们提出了一个求解具有规模不经济（diseconomy of scale）优化问题的新框架。在此类问题中，我们的目标是最小化执行特定任务所用资源的成本。资源成本随所用资源量 $x$ 呈超线性增长，即 $x^q$，$q\ge 1$。我们为这类问题定义了一种新颖的线性规划松弛方法，并证明该松弛方法的整数间隙（integrality gap）为 $A_q$，其中 $A_q$ 是参数为 1 的泊松随机变量的 $q$ 阶矩。利用我们的框架，我们获得了最小能耗高效路由、最小度平衡生成树、无关并行机器上的负载均衡以及具有完成时间非线性函数的无关并行机器调度问题的近似算法。我们的分析依赖于非负随机变量的解耦不等式。该不等式指出 $$\big \|\sum_{i=1}^n X_i\big\|_{q} \leq C_q \,\big \|\sum_{i=1}^n Y_i\big\|_{q},$$ 其中 $X_i$ 是独立的非负随机变量，$Y_i$ 是可能相关的非负随机变量，且每个 $Y_i$ 与 $X_i$ 具有相同的分布。该不等式由 de la Pe\~na 于 1990 年证明。De la Pe\~na、Ibragimov 和 Sharakhmetov (2003) 表明，对于 $q\in (1,2)$ 有 $C_q\leq 2$，对于 $q\geq 2$ 有 $C_q\leq A_q^{1/q}$。我们证明了对于任意 $q\geq 1$，最优常数为 $C_q=A_q^{1/q}$。随后我们证明了一个更一般的不等式：对于任意凸函数 $\varphi$，$$\mathbb{E}[\varphi\Big(\sum_{i=1}^n X_i\Big)]\leq \mathbb{E}[\varphi\Big(P\sum_{i=1}^n Y_i\Big)],$$ 且对于任意凹函数 $\psi$，$$\mathbb{E}[\psi\Big(\sum_{i=1}^n X_i\Big)] \geq \mathbb{E}[\psi\Big(P\sum_{i=1}^n Y_i\Big)],$$ 其中 $P$ 是与随机变量 $Y_i$ 独立的、参数为 1 的泊松随机变量。