最优阈值挂锁系统

1968年，Liu描述了在共享秘密项目中保护文件的问题。在一个例子中，至少十一名参与科学家中的六名需要在场才能打开保护秘密文件的锁。Shamir于1979年通过设计基于拉格朗日插值的高效$k$-out-of-$n$秘密共享方案，给出了这一物理问题的数学解。Liu与Shamir还声称，使用物理锁的最小方案显然不切实际且随参与者数量呈指数增长。本文放宽了他们声称中的若干隐含假设，并提出了一种针对Liu问题的最优物理方案，该方案使用物理挂锁，但挂锁数量不大于参与者数量。进而我们证明，对于$k$-out-of-$n$阈值挂锁系统，一旦$k\geq{\sqrt{2n}}$（特别地对Liu的例子成立），任何装置都无法做得更好。更一般地，我们推导出实现任意阈值系统所需的界，并证明对任意大于$2$的阈值，挂锁的下界为$\mathcal{O}{\log(n)}$。例如，我们提出了一种达到该界的最优方案，用于$2$-out-of-$n$阈值系统，所需挂锁少于$2\log_2(n)$。我们还讨论了更复杂的访问结构、一种包裹技术，以及其他次线性实现，如生成所需$2.5\sqrt{n}$个挂锁的$3$-out-of-$n$系统的算法。最后我们给出一种算法，以仅$\mathcal{O}{\log(n)^{k-1}}$个挂锁构建$k$-out-of-$n$阈值挂锁系统。除物理世界外，我们的结果也表明可在小域上实现秘密共享。