Gruppen 秘密共享，或：若必须共享多个秘密该如何操作？

在一个 $n$ 人团队中，每位成员都有一个秘密（例如密码）。$k$ out of $n$ 的 Gruppen 秘密共享要求：任意 $k$ 名成员组成的群体应能恢复其余 $n-k$ 名成员的秘密；而任意 $k-1$ 名或更少成员组成的群体，即使其他秘密已泄露，也不应获得关于其他团队成员秘密的任何信息。我们证明，当所有秘密独立选择且大小为 $s$ 时，每位团队成员必须持有大小至少为 $(n-k)s$ 的份额；并提出了一个在 $s$ 足够大时能达到该下界的方案。该结果表明，相较于独立应用 $n$ 次 Shamir 的 $k$ out of $n-1$ 门限方案（后者为每位成员分配大小为 $(n-1)s$ 的份额，且与 $k$ 无关），本方案具有显著节省。我们还展示了如何在无需可信分发者（trusted dealer）的情况下建立此类方案，以及如何在不泄露信息的前提下多次恢复秘密。此外，我们讨论了本方案与广泛研究的多秘密共享方法之间的契合关系。