基于故障预言机的联合对齐的最优学习

我们考虑如下在联合图像与形状对齐等应用中有用的问题。目标是恢复 $n$ 个离散变量 $g_i \in \{0, \ldots, k-1\}$（模某个全局偏移），给定它们一组两两差值 $\{(g_i - g_j) \bmod k\}$ 的含噪观测；具体而言，以 $\frac{1}{k}+\delta$（其中 $\delta > 0$）的概率获得正确结果，其余概率获得均匀随机的错误结果。我们考虑一种基于学习的设定，其中可通过查询来观测一个两两差值，目标是在获得精确联合对齐的同时执行尽可能少的查询。我们提供了一种易于实现、时间高效的算法，执行 $O\big(\frac{n \lg n}{k \delta^2}\big)$ 次查询，并以高概率恢复联合对齐。我们还通过证明一个对所有非自适应算法都成立的一般下界，表明我们的算法是最优的。我们的工作显著改进了 Chen 和 Cand\'{e}s \cite{chen2016projected} 近期的工作，他们将问题视为可用幂方法求解的约束主成分分析问题。具体而言，我们的方法在算法和分析上都更简单，并对问题结构提供了额外的洞察。