从单向集合调和到纠错的最优Las Vegas归约

假设我们有两个玩家 $A$ 和 $C$，其中玩家 $A$ 拥有字符串 $s[0..u-1]$，玩家 $C$ 拥有字符串 $t[0..u-1]$，且双方均不知道对方的字符串。假设 $s$ 和 $t$ 均在整数字母表 $[\sigma]$ 上，其中第一个字符串包含 $n$ 个非零项。我们希望回答以下基本问题。假设 $s$ 和 $t$ 至多在第 $k$ 个位置上不同，玩家 $A$ 需要向玩家 $C$ 发送多少比特才能使其确定地恢复 $s$？此外，玩家 $A$ 计算所发送比特需要花费多少时间，玩家 $C$ 恢复字符串 $s$ 需要多少时间？该问题有一定数量的应用，例如在数据库中，其中两方各拥有一组 $n$ 个键值对，键来自全域 $[u]$，值来自 $[\sigma]$，且通常有 $n\ll u$。本文中，我们展示了从该问题到长度为 $\Theta(n)$、字母表大小为 $2^{\Theta(\log\sigma+\log (u/n))}$ 的字符串的 $k$ 错误系统纠错问题的时间和消息大小最优的Las Vegas归约。归约带来的额外运行时间对玩家 $A$ 为线性随机、对玩家 $B$ 为线性确定性，但纠错以确定性工作。当使用流行的Reed-Solomon码时，该归约给出一个协议，对所有 $k$ 值传输 $O(k(\log u+\log\sigma))$ 比特，并在时间 $O(n\cdot\mathrm{polylog}(n)(\log u+\log\sigma))$ 内运行。该时间对玩家 $A$（编码时间）是随机的，对玩家 $C$（解码时间）是确定的。当 $k\leq (u\sigma)^{1-\Omega(1)}$ 时空间是最优的。