重夺贝尔抽样：本征态学习与测试、量子伪随机性界限等

贝尔抽样是一种基于对两个量子态在贝尔基底下测量的简单而强大的工具，已在诸多与本征态和魔法度量相关的问题中找到应用。然而，如何将该程序从量子比特推广到所有维数 d>2 的量子比特（qudit）尚不清晰。事实上，作者此前的工作（arXiv'24）表明，贝尔抽样向任意维度的自然扩展未能为被测量子态提供有意义的信息。本文克服了前述工作中的困难，发展了一种对所有 d≥2 的 qudit 实用的贝尔抽样推广。我们的核心原语是一种新单位矩阵，基于 Lagrange 的四平方定理，将任意本征态 |S⟩ 的四个拷贝映射到其复共轭 |S*⟩（最多经过一个 Paul 算子）。我们随后通过演示新贝尔抽样技术将若干已知结果从量子比特提升到 qudit：1. 以 O(n³) 时间学习本征态，需 O(n) 个样本；2. 在 Õ(n³/ε) 时间内解决隐藏本征态群问题，需 Õ(n/ε) 个样本；3. 测试 |ψ⟩ 是否的本征态大小至少为 d^t 或距离所有此类态 ε 远，以 Õ(n³/ε) 时间和 Õ(n/ε) 个样本完成；4. 至多包含 n/2 个单 qudit 非 Cliff 门的 Cliff 电路无法准备伪随机态；5. 测试 |ψ⟩ 的本征保真度是否至少为 1-ε₁ 或至多为 1-ε₂，需 O(d²/ε₂) 个样本（若 ε₁=0）或 O(d²/ε₂²) 个样本（若 ε₁=O(d⁻²)）。