开放问题：最优臂识别：近似实例最优性与间隙熵猜想

最优臂识别问题（BEST-1-ARM）是随机多臂赌博机中最基本的纯探索问题。该问题有着悠久的历史，并在过去十年中引起了广泛关注。然而，我们对该问题的最优样本复杂度仍缺乏完整理解：最先进的算法达到的样本复杂度为 $O(\sum_{i=2}^{n} \Delta_{i}^{-2}(\ln\delta^{-1} + \ln\ln\Delta_i^{-1}))$（其中 $\Delta_{i}$ 是最大均值与第 $i$ 个均值之间的差），而已知的最佳下界为 $\Omega(\sum_{i=2}^{n} \Delta_{i}^{-2}\ln\delta^{-1})$（针对一般实例）和 $\Omega(\Delta^{-2} \ln\ln \Delta^{-1})$（针对双臂实例）。我们提出研究 BEST-1-ARM 问题的实例最优性。先前的研究已证明对于双臂问题不存在实例最优算法。然而，我们猜想，在忽略加法项 $\Omega(\Delta_2^{-2} \ln\ln \Delta_2^{-1})$（该加法项是双臂问题的上界和最坏情况下界）之后，存在 BEST-1-ARM 的实例最优算法。此外，我们引入了一个新量，称为最优臂问题实例的间隙熵，并猜想它就是实例意义下的下界。因此，解决这一猜想将为这个古老的基本问题提供最终答案。