偏微分方程优化的在线伴随方法

我们提出并从数学上分析了一种用于偏微分方程（PDEs）优化的在线伴随算法。传统伴随算法通常在每次优化迭代中求解一个新的伴随PDE，这可能计算代价高昂。相比之下，在线伴随算法在连续时间内更新设计变量，从而持续朝着最小化目标函数推进。我们所考虑的在线伴随算法在精神上类似于先前提出的伪时间步进一步法。受此类方法在工程问题中应用的推动，我们从数学上研究了在线伴随算法的收敛性。该在线伴随算法依赖于一个时间松弛的伴随PDE，其提供最速下降方向的估计。算法在时间内连续更新此估计，并且当$t \rightarrow \infty$时渐近收敛到精确的最速下降方向。我们严格证明该在线伴随算法收敛到PDE优化目标函数的临界点。在适当的技术条件下，我们也证明了算法的收敛速率。收敛证明中的关键步骤是对前向PDE、伴随PDE与设计变量的梯度下降ODE之耦合系统的多尺度分析。