具有扩展$s$波超导的一维自旋轨道耦合狄拉克系统：马约拉纳模与约瑟夫森效应

受拓扑绝缘体边界处电子自旋-动量锁定的启发，我们研究了一维自旋轨道耦合无质量狄拉克电子与 $s$ 波超导配对系统。由于自旋轨道耦合，我们的模型仅有两类线性色散模，我们取为右移自旋向上与左移自旋向下。我们研究了晶格与连续模型。在晶格模型中，我们发现只要 $s$ 波配对具有扩展形式（最近邻配对大于在位配对），有限系统每一端会出现单个马约拉纳零能模。我们通过计算绕数在数值与解析上均确认了这一点。接下来我们研究同时含薛定谔与类狄拉克项的模型晶格版本，发现该模型根据薛定谔与狄拉克项的相对强度，在拓扑平庸与非平庸相之间发生拓扑转变。然后我们研究由两个具有不同配对相位的 $s$ 波超导体构成的连续系统。显著的是，我们发现系统具有局域于结处的{\it 单个}安德烈夫束缚态。当配对相位差跨越 $2 \pi$ 的整数倍时，安德烈夫束缚态触及超导能隙顶部并消失，且不同态从能隙底部出现。我们还研究了此类结在含恒定 $V_0$ 与以频率 $\omega$ 振荡项的电压偏置下的交流约瑟夫森效应。我们发现，与标准约瑟夫森结相反，当约瑟夫森频率 $\omega_J= 2eV_0/\hbar$ 为 $\omega$ 的有理分数时，出现夏皮罗平台。我们讨论了可实现此类结的实验。