关于切片逆回归的结构维数

本工作中，我们解决了长久以来的谜题：当结构维数$d$（中心空间的维数）超过4时，切片逆回归（SIR）在充分降维中常表现不佳。我们首先证明，在多指标模型$Y=f( \mathbf{P} \boldsymbol{X})+\epsilon$中，其中$\boldsymbol{X}$为$p$维标准正态向量，$\epsilon$为独立噪声，$\mathbf{P}$为从$\mathbb R^{p}$到$\mathbb R^{d}$的投影算子，若链接函数$f$服从高斯过程律，则高概率下$\mathrm{Cov}\left[\mathbb{E}(\boldsymbol{X}\mid Y)\right]$的第$d$个特征值$\lambda_{d}$满足$\lambda_{d}\leq C e^{-\theta d}$（$C$与$\theta$为正常数）。我们随后聚焦于低信号机制，其中$\lambda_{d}$可任意小且不大于$d^{-8.1}$，并证明估计中心空间的极小极大风险以下界$\frac{dp}{n\lambda_{d}}$为界。结合这两结果，我们为$d$较大时SIR的糟糕表现提供了令人信服的解释——该现象困扰研究者近三十年。此处发展的技术工具或可独立用于研究其他充分降维方法。