关于 $\text{MOD}_m^n$ 与 $\text{EXACT}_{k,l}^n$ 的精确量子查询复杂度

查询模型在经典与量子计算领域均引起了相当关注。通常，量子优势通过展示相比经典对应物具有更优查询复杂度的量子算法来体现。精确量子查询算法在量子算法开发中起着关键作用。例如，Deutsch-Jozsa 算法展示了对经典确定性算法的指数级量子优势。作为一个重要的复杂度度量，精确量子查询复杂度描述了使用量子算法精确解决特定问题所需的最小查询次数。本文考虑以下两个 $n$ 位对称函数 $\text{MOD}_m^n:\{0,1\}^n \rightarrow \{0,...,m-1\}$ 与 $\text{EXACT}_{k,l}^n:\{0,1\}^n \rightarrow \{0,1\}$ 的精确量子查询复杂度，其定义为 $\text{MOD}_m^n(x) = |x| \bmod m$ 且 $\text{EXACT}_{k,l}^n(x) = 1$ 当且仅当 $|x| \in \{k,l\}$，其中 $|x|$ 为 $x$ 中 $1$ 的个数。我们的结果如下：i) 我们提出计算 $\text{MOD}_m^n$ 的最优量子算法，对 $1 < m \le n$ 达到 $\lceil n(1-\frac{1}{m}) \rceil$ 的查询复杂度。这解决了 Cornelissen、Mande、Ozols 与 de Wolf（2021）提出的猜想。基于该算法，我们表明将 $\{0,1\}^n$ 映射到有限集 $X$ 的广泛对称函数的精确量子查询复杂度小于 $n$。ii) 当 $l-k \ge 2$ 时，我们给出计算 $\text{EXACT}_{k,l}^n$ 在 $k=0$ 或 $k=1,l=n-1$ 情形下的精确量子查询最优算法。这部分解决了 Ambainis、Iraids 与 Nagaj（2017）提出的猜想。