对称量子信号处理的能量景观

对称量子信号处理提供了实多项式的参数化表示，可转化为高效的量子电路，用于在量子计算机上执行广泛的计算任务。对于给定的多项式 $f$，其参数（称为相位因子）可通过求解一个优化问题获得。然而，代价函数非凸，且具有非常复杂的能量景观，包含大量全局与局部极小值。因此令人惊讶的是，在实践中从不含输入多项式信息的固定初始猜测 $\Phi^0$ 出发，可以稳健地获得解。为研究此现象，我们首先显式刻画代价函数的所有全局极小值。然后我们证明，在条件 ${\left\lVert f\right\rVert}_{\infty}=\mathcal{O}(d^{-1})$（其中 $d=\mathrm{deg}(f)$）下，某个特定的全局极小值（称为极大解）属于 $\Phi^0$ 的一个邻域，在该邻域上代价函数是强凸的。我们的结果对上述优化算法的成功提供了部分解释。