基于正交多项式理论的量子信号处理角度寻找与级数展开

量子信号处理是量子算法中的一种强大框架，在哈密顿模拟及相关应用中发挥核心作用。该协议每一步实现的多项式序列为块编码任意哈密顿多项式提供了多项式基。我们以线性函数（ admitting积分表示）的正交性或双正交性来刻画可实现的多项式基。对于包括赫姆齐、雅可比和罗格斯-齐尔多多项式等族类，推导了量子信号处理角度的显式表达式。我们证明，编码这些类中至度为n的多项式序列需要2n+2个旋转角。利用该结果，我们证明通过其赫姆齐级数展开，$\epsilon$近似光滑函数f可通过 $O(\log(1/\epsilon))$ 个门实现块编码。建立的正交与双正交多项式理论联系为求解量子信号处理角度寻找问题提供了新方法，得到角度的显式表达式。它们还以多项式的根为依据，对$\mathrm{SU}(1,1)$-QSP可实现的多项式提供了完整刻画。在双变量QSPsetting中，证明了双正交性成立，给出可实现多项式的一组必要条件。