论函数的导数不平衡性与歧义性

2007 年，Carlet 和 Ding 引入了两个参数，记为 $Nb_F$ 和 $NB_F$，分别量化有限阿贝尔群之间一般函数 $F$ 的平衡性及其导数 $D_a F(x)=F(x+a)-F(x)$（$a\in G\setminus\{0\}$）的（全局）平衡性，以此作为函数非线性度的指标。这些作者研究了这两个度量的性质及其密码学意义。他们为 S 盒提供了将非线性度 $\mathcal{NL}(F)$ 与 $NB_F$ 关联的不等式，并特别得到了一个统一了 Sidelnikov-Chabaud-Vaudenay 界和覆盖半径界的非线性度上界。在 WCC 2009 研讨会及其 2011 年会后论文集中，对这些参数进行了进一步研究；特别是，第一个参数被应用于函数 $F+L$（其中 $L$ 为仿射函数），从而提供了更多非线性度参数。2010 年，受 Costas 阵列研究的启发，Panario 等人为有限阿贝尔群上的置换引入了两个称为歧义性和亏量性的参数，分别度量导数的单射性和满射性。这些作者也研究了这两个度量的若干基本性质及其密码学意义。随后有进一步的研究，但未将第二对参数与第一对参数进行比较。在本文中，我们观察到歧义性与 $NB_F$ 是相同的参数，仅相差加性和乘性常数（即仅相差尺度变换）。我们进行了必要的比较与统一工作，整理了在五篇专门研究这些参数的论文中获得的关于 $NB_F$ 和歧义性的结果。我们将一些已知结果推广到任意阿贝尔群，并更重要的是，推导出关于这些参数的许多新结果。