再论带衰减步长的去中心化梯度下降的收敛性

由于其在各领域的广泛应用，分布式优化近年来受到大量关注。本工作中，我们重新审视在整体空间上去中心化梯度下降 [A. Nedi{\'c}-A.Ozdaglar (2009)] 的收敛性质，其给定为 $$x_i(t+1) = \sum^m_{j=1}w_{ij}x_j(t) - \alpha(t) \nabla f_i(x_i(t)),$$ 其中步长为 $\alpha (t) = \frac{a}{(t+w)^p}$ 且 $0< p\leq 1$。在总代价函数 $f$ 强凸而局部代价函数 $f_i$ 未必凸的假设下，我们表明当适当选取 $a>0$ 和 $w>0$ 的值时，序列以 $O(t^{-p})$ 的速率收敛到优化器。