关于非线性优化中最优值可达性测试复杂度的研究

我们证明，除非 P=NP，否则不存在多项式时间（甚至伪多项式时间）算法能够测试一个非线性优化问题的最优值是否可达，其中该问题的目标和约束由低次多项式给出。如果这些多项式的次数是固定的，我们的结果结合先前已知的“Frank-Wolfe 型”定理意味着，恰好会发生以下两种情况之一：要么在所有实例上最优值均可达，要么区分可达与不可达是强 NP 困难的。我们还表明，测试一些众所周知的可达最优值的充分条件，如目标函数的强制性以及可行集的闭性和有界性，是强 NP 困难的。作为副产品，我们的证明表明测试二次模的 Archimedean 性质是强 NP 困难的，这一性质对 Lasserre 层次的收敛具有独立意义。最后，我们给出了基于半正定规划（SDP）的可达最优值的充分条件，特别是给出了强制性多项式的一种新刻画，该刻画可适用于 SDP 层次。