局域密度矩阵纯态一致性的计算复杂性

在这项工作中，我们研究了局域密度矩阵纯态一致性（PureCLDM）和纯N-可表示性（Pure-N-Representability；PureCLDM在玻色子或费米子系统中对应的类比）问题的计算复杂性。在这些问题的输入是一组约化密度矩阵，任务是判断是否存在一个与这些约化密度矩阵一致的全局纯态。虽然混合CLDM（即全局态可以是混合态）已被Broadbent和Grilo证明是QMA完全的，但关于纯版本复杂性的了解几乎为零。在我们的工作之前，最好的上下界分别是QMA(2)和QMA。我们对这些问题理解的贡献是双重的。首先，我们定义了Aharanov和Regev提出的复杂性类QMA+的纯态类比，我们称之为PureSuperQMA。我们证明了纯N-可表示性和PureCLDM对该新类都是完全的。在此过程中，我们补充了Broadbent和Grilo的工作，证明了2量子比特约化密度矩阵的困难性，并证明了混合N-可表示性是QMA完全的。其次，我们改进了PureCLDM的上界。利用代数几何的方法，我们证明了PureSuperQMA属于PSPACE。我们的方法和PSPACE上界对PureCLDM同样有效，即使具有指数级甚至精确精度，因此除非PSPACE=NEXP，否则精确PureCLDM不是精确QMA(2)=NEXP完全的。我们将此视为对长期开放问题——PureCLDM是否为QMA(2)完全的——的否定回答的证据。我们为PSPACE上界开发的技术相当通用。我们能够将它们用于各种应用：从证明其他量子问题的PSPACE上界，到为约束较少的（非凸）二次约束二次规划给出高效的并行（NC）算法。