关于有向 Steiner 树及相关问题近似的亚指数运行时间

本文关注于证明为达到期望近似比而所需的几乎紧（超多项式）运行时间。为说明我们所研究的问题，考虑具有 n 个元素和 m 个集合的 Set-Cover 问题。现指定我们的目标是对给定参数 0<d<1，将 Set-Cover 近似到 (1-d)ln n 的因子。达到此种近似的最佳可能运行时间是多少？该问题在 Moshkovitz 的工作 [Theory of Computing, 2015] 中被隐式回答：假设投影博弈猜想（PGC）和指数时间假设（ETH）同时成立，Set-Cover 的任何 ((1-d) ln n)-近似算法必须运行时间 >= 2^{n^{c d}}，其中某常数 0<d<1。我们沿此方向研究问题。首先，我们表明在 ETH 和 PGC 下，Set-Cover 的任何 ((1-d) \ln n)-近似都需要 2^{n^{d}} 时间。这（几乎）匹配了 Cygan 等人 [IPL, 2009] 中用于以因子 (1-d) ln n 近似 Set-Cover 的 2^{O(n^d)} 运行时间。我们的结果在上指数中乘以 n^{d} 项的常数范围内是紧的。该下界适用于其所有推广，例如 Group Steiner Tree (GST)、Directed Steiner (DST)、Covering Steiner Tree (CST)、Connected Polymatroid (CP)。我们还表明在几乎指数时间内，这些问题可归约到 Set-Cover：我们给出了所有这些问题的 (1-d)ln n 近似算法，运行时间为 2^{n^{d \log n } poly(m)。我们还研究了 GST 的 log^{2-d}n 近似。Chekuri-Pal [FOCS, 2005] 表明 GST 在时间 exp(2^{log^{d+o(1)}n}) 内允许 (log^{2-d}n)-近似，对任意 0 < d < 1。我们给出了 GST 的下界：任何 (log^{2-d}n)-近似的 GST 必须运行时间 >= exp((1+o(1)){log^{d-c}n})，对任意 c>0，除非 ETH 不成立。我们的结果通过分析 Halperin 和 Krauthgamer [STOC, 2003] 的工作得到。相同的下界和上界对 CST 成立。