带k处不匹配与少量无关字符的模式匹配

我们考虑带$k$处不匹配的模式匹配问题，其中模式中可包含无关（通配）字符。具体而言，给定长度为$m$的模式$P$和长度为$n$的文本$T$，我们希望找到$P$在$T$中所有不匹配数不超过$k$的出现位置。模式可包含无关字符，其能匹配任意字符。若无无关字符，解决带$k$处不匹配模式匹配的最知名算法运行时间为$O(n\sqrt{k \log k})$。若模式中含有无关字符，最佳的确定性算法运行时间为 O(nk polylog m)。因此，有无无关字符的版本之间存在重要差距。本文中，我们给出一种运行时间随无关字符数量增加而增长的算法。我们定义{\em 岛}（island）为$P$中不含无关字符的最大长度子串。设$P$中岛的数量为$q$。我们提出一种运行时间为$O(n\sqrt{k\log m}+n\min\{\sqrt[3]{qk\log^2 m},\sqrt{q\log m}\})$的算法。若岛的数量$q$为$O(k)$，该运行时间变为$O(n\sqrt{k\log m})$，这基本与无无关字符时带$k$处不匹配模式匹配的最知名运行时间持平。若岛的数量$q$为$O(k^2)$，该算法在渐近意义上快于先前带无关字符的$k$处不匹配模式匹配最佳算法。